Các đại số là một ngành toán học mà số lần sử dụng, chữ cái và dấu hiệu để tham khảo các phép tính số học khác nhau thực hiện. Ngày nay đại số như một nguồn toán học được sử dụng trong các mối quan hệ, cấu trúc và số lượng. Đại số sơ cấp là phổ biến nhất vì nó là đại số sử dụng các phép toán số học như cộng, trừ, nhân và chia vì, không giống như số học, nó sử dụng các ký hiệu như xy là phổ biến nhất thay vì sử dụng số.
Đại số là gì
Mục lục
Đây là nhánh của toán học, cho phép phát triển và giải quyết các vấn đề số học thông qua các chữ cái, ký hiệu và số, lần lượt tượng trưng cho các đối tượng, chủ thể hoặc nhóm yếu tố. Điều này cho phép hình thành các phép toán có chứa các số chưa biết, được gọi là ẩn số và làm cho việc phát triển các phương trình có thể thực hiện được.
Thông qua đại số, con người đã có thể đếm một cách trừu tượng và chung chung, nhưng cũng nâng cao hơn, thông qua các phép tính phức tạp hơn, được phát triển bởi các trí thức toán học và vật lý như Ngài Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) hay Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nhờ những đóng góp của họ mà chúng ta có định nghĩa về đại số như ngày nay.
Tuy nhiên, theo lịch sử đại số, Diophantus của Alexandria (không rõ ngày sinh và mất, được cho là sống giữa thế kỷ thứ 3 và thứ 4), thực sự là cha đẻ của nhánh này, khi ông xuất bản một tác phẩm mang tên Arithmetica, Nó bao gồm mười ba cuốn sách và trong đó ông trình bày các vấn đề với các phương trình, mặc dù chúng không tương ứng với một đặc điểm lý thuyết, nhưng vẫn đủ cho các giải pháp chung. Điều này đã giúp xác định đại số là gì, và trong số nhiều đóng góp của ông, đó là việc triển khai các ký hiệu phổ quát để biểu diễn một ẩn số trong các biến của bài toán cần giải.
Nguồn gốc của từ "algebra" bắt nguồn từ tiếng Ả Rập và có nghĩa là "phục hồi" hoặc "công nhận". Theo cách tương tự, nó có nghĩa trong tiếng Latinh, tương ứng với "giảm bớt", và mặc dù chúng không phải là những thuật ngữ giống hệt nhau, nhưng chúng có nghĩa giống nhau.
Là một công cụ bổ sung cho việc nghiên cứu ngành này, bạn có thể có máy tính đại số, là máy tính có thể vẽ đồ thị các hàm đại số. Theo cách này, cho phép tích hợp, suy ra, đơn giản hóa các biểu thức và đồ thị hàm, tạo ma trận, giải phương trình, trong số các hàm khác, mặc dù công cụ này thích hợp hơn ở cấp độ cao hơn.
Trong đại số là số hạng đại số, là tích của một thừa số của ít nhất một biến chữ cái; trong đó mỗi thuật ngữ có thể được phân biệt bằng hệ số của nó, các biến số của nó được biểu thị bằng các chữ cái và cấp độ của thuật ngữ bằng cách cộng số mũ của các phần tử chữ. Điều này có nghĩa là đối với số hạng đại số p5qr2, hệ số sẽ là 1, phần chữ của nó sẽ là p5qr2 và bậc của nó sẽ là 5 + 1 + 2 = 8.
Biểu thức đại số là gì
Nó là một biểu thức được tạo thành từ các hằng số nguyên, các biến và các phép toán đại số. Một biểu thức đại số được tạo thành từ các dấu hiệu hoặc ký hiệu và được tạo thành từ các yếu tố cụ thể khác.
Trong đại số sơ cấp, cũng như trong số học, các phép toán đại số được sử dụng để giải quyết vấn đề là: cộng hoặc cộng, trừ hoặc trừ, nhân, chia, lũy thừa (nhân một thừa số lần) và sự phát xạ (hoạt động nghịch đảo của chiết áp).
Các dấu hiệu được sử dụng trong các phép toán này giống như các dấu hiệu được sử dụng cho phép tính cộng (+) và phép trừ (-), nhưng đối với phép nhân, dấu X (x) được thay thế bằng dấu chấm (.) Hoặc chúng có thể được biểu diễn bằng các dấu hiệu nhóm (ví dụ: cd và (c) (d) tương đương với phần tử “c” nhân với phần tử “d” hoặc cxd) và trong phép chia đại số, hai điểm (:) được sử dụng.
Các dấu hiệu nhóm cũng được sử dụng, chẳng hạn như dấu ngoặc đơn (), dấu ngoặc vuông, dấu ngoặc nhọn {} và sọc ngang. Dấu hiệu quan hệ cũng được sử dụng, là những dấu hiệu được sử dụng để chỉ ra rằng có mối tương quan giữa hai dữ liệu và trong số những dấu hiệu được sử dụng nhiều nhất là bằng (=), lớn hơn (>) và nhỏ hơn (<).
Ngoài ra, chúng có đặc điểm là sử dụng các số thực (hữu tỉ, bao gồm dương, âm và 0; và vô tỉ, là những số không thể được biểu diễn dưới dạng phân số) hoặc phức, là một phần của số thực, tạo thành một trường đóng đại số.
Đây là những biểu thức đại số chính
Có những biểu thức là một phần của khái niệm đại số là gì, những biểu thức này được phân thành hai loại: đơn thức, là những đơn thức có một phụ tố duy nhất; và đa thức, có hai (nhị thức), ba (tam thức) trở lên.
Một số ví dụ về đơn thức sẽ là: 3x, π
Trong khi một số đa thức có thể là: 4 × 2 + 2x (nhị thức); 7ab + 3a3 (tam thức)
Điều quan trọng cần đề cập là nếu biến (trong trường hợp này là "x") ở mẫu số hoặc trong một căn, các biểu thức sẽ không phải là đơn thức hoặc đa thức.
Đại số tuyến tính là gì
Lĩnh vực toán học và đại số này là lĩnh vực nghiên cứu các khái niệm về vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, phép biến đổi tuyến tính và ma trận. Có thể thấy, đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng khác nhau.
Tiện ích của nó thay đổi từ việc nghiên cứu không gian hàm, là những hàm được xác định bởi tập X (ngang) đến tập Y (dọc) và được áp dụng cho không gian vectơ hoặc tôpô; phương trình vi phân, liên hệ một hàm (giá trị phụ thuộc vào giá trị thứ hai) với các đạo hàm của nó (tốc độ thay đổi tức thời làm cho giá trị của một hàm đã cho thay đổi); nghiên cứu hoạt động, áp dụng các phương pháp phân tích tiên tiến để đưa ra quyết định đúng đắn; đến kỹ thuật.
Một trong những trục chính của nghiên cứu đại số tuyến tính được tìm thấy trong không gian vectơ, được tạo thành từ một tập các vectơ (các đoạn của một đoạn thẳng) và một tập hợp các số vô hướng (số thực, hằng số hoặc phức, có độ lớn nhưng không đặc trưng vectơ chỉ phương).
Không gian vectơ hữu hạn chiều chính là ba:
- Các vectơ trong Rn, đại diện cho các tọa độ Descartes (trục X nằm ngang và trục Y thẳng đứng).
- Các ma trận, là các biểu thức hệ hình chữ nhật (được biểu thị bằng số hoặc ký hiệu), được đặc trưng bởi một số hàng (thường được biểu thị bằng chữ "m") và một số cột (được biểu thị bằng chữ "n"), và chúng được sử dụng trong khoa học và kỹ thuật.
- Các không gian vector của đa thức trong biến tương tự, được đưa ra bởi đa thức mà không làm vượt quá mức độ 2, có hệ số thực và được tìm thấy trên biến "x".
Các hàm đại số
Nó đề cập đến một hàm tương ứng với một biểu thức đại số, đồng thời thỏa mãn một phương trình đa thức (hệ số của nó có thể là đơn thức hoặc đa thức). Chúng được phân loại thành: giá trị hợp lý, không hợp lý và giá trị tuyệt đối.
- Các hàm hữu tỉ nguyên là những hàm được biểu thị bằng:, trong đó "P" và "Q" biểu thị hai đa thức và "x" là biến, trong đó "Q" khác với đa thức rỗng và biến "x" không hủy bỏ mẫu số.
- Các hàm vô tỉ, trong đó biểu thức f (x) biểu diễn một căn, như sau:. Nếu giá trị của "n" là chẵn, căn sẽ được xác định sao cho g (x) lớn hơn và bằng 0, và dấu của kết quả cũng phải được chỉ ra, vì nếu không có nó, sẽ không thể nói về một hàm, vì với mỗi giá trị của "x" sẽ có hai kết quả; trong khi nếu chỉ số của gốc là số lẻ, thì không cần thiết sau vì kết quả sẽ là duy nhất.
- Các hàm giá trị tuyệt đối, trong đó giá trị tuyệt đối của một số thực sẽ là giá trị số của nó bỏ qua dấu của nó. Ví dụ: 5 sẽ là giá trị tuyệt đối của cả 5 và -5.
Có các hàm đại số rõ ràng, trong đó biến "y" của nó sẽ là kết quả của việc kết hợp biến "x" với số lần giới hạn, sử dụng các phép toán đại số (ví dụ: phép cộng đại số), bao gồm cả độ cao đến hiệu lực và việc khai thác rễ; điều này sẽ dịch thành y = f (x). Ví dụ về loại hàm đại số này có thể là như sau: y = 3x + 2 hoặc tương tự: (x) = 3x + 2, vì “y” chỉ được biểu thị dưới dạng “x”.
Mặt khác, có những hàm ẩn, đó là những biến “y” không chỉ được biểu thị như một hàm của biến “x”, do đó y ≠ f (x). Như một ví dụ về loại hàm này, chúng ta có: y = 5x3y-2
Ví dụ về các hàm đại số
Có ít nhất 30 loại hàm đại số, nhưng trong số các loại nổi bật nhất, có các ví dụ sau:
1. Hàm rõ ràng: ƒ () = sin
2. Hàm ẩn: yx = 9 × 3 + x-5
3. Hàm đa thức:
a) Hằng số: ƒ () = 6
b) Bậc nhất hoặc tuyến tính: ƒ () = 3 + 4
c) Bậc hai hoặc bậc hai: ƒ () = 2 + 2 + 1 hoặc (+1) 2
d) Bậc ba hoặc bậc ba: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Hàm hợp lý: ƒ
5. Hàm thế năng: ƒ () = - 1
6. Hàm cấp tiến: ƒ () =
7. Hàm theo phần: ƒ () = nếu 0 ≤ ≤ 5
Đại số Baldor là gì
Khi nói về đại số của Baldor là gì, nó đề cập đến một công trình được phát triển bởi nhà toán học, giáo sư, nhà văn và luật sư Aurelio Baldor (1906-1978), được xuất bản vào năm 1941. Trong ấn phẩm của giáo sư, ai sinh ra tại Havana, Cuba, 5.790 bài tập được ôn tập, tương đương với trung bình 19 bài tập mỗi bài thi.
Baldor đã xuất bản các tác phẩm khác, chẳng hạn như "Hình học Mặt phẳng và Không gian", "Lượng giác Baldor" và "Số học Baldor", nhưng tác phẩm có ảnh hưởng lớn nhất trong lĩnh vực của nhánh này là "Đại số Baldor".
Tuy nhiên, tài liệu này được khuyến nghị nhiều hơn cho các cấp học trung cấp (chẳng hạn như trung học), vì đối với các cấp cao hơn (đại học), nó hầu như không bổ sung cho các văn bản nâng cao khác theo cấp đó.
Trang bìa nổi tiếng có hình nhà toán học, nhà thiên văn học và nhà địa lý học người Hồi giáo người Ba Tư Al-Juarismi (780-846), đã thể hiện sự nhầm lẫn giữa các sinh viên đã sử dụng công cụ toán học nổi tiếng này, vì người ta cho rằng nhân vật này là về tác giả của nó Baldor.
Nội dung của tác phẩm được chia thành 39 chương và phần phụ lục, trong đó có các bảng tính toán, bảng các dạng cơ bản của phân tích nhân tử và bảng nghiệm nguyên và lũy thừa; và cuối văn bản là đáp án cho các bài tập.
Ở đầu mỗi chương, có một hình minh họa phản ánh đánh giá lịch sử về khái niệm sẽ được phát triển và giải thích bên dưới, đồng thời đề cập đến các nhân vật lịch sử nổi bật trong lĩnh vực này, tùy theo bối cảnh lịch sử mà khái niệm này nằm ở đâu. Những nhân vật này bao gồm từ Pythagoras, Archimedes, Plato, Diophantus, Hypatia và Euclid, đến René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck và Albert Einstein.
Sự nổi tiếng của cuốn sách này là do đâu?
Thành công của nó nằm ở chỗ, ngoài việc là một tác phẩm văn học bắt buộc nổi tiếng ở các trường trung học Mỹ Latinh, là cuốn sách được tham khảo nhiều nhất và đầy đủ nhất về chủ đề này, vì nó có giải thích rõ ràng về các khái niệm và phương trình đại số của chúng, cũng như dữ liệu lịch sử về để nghiên cứu, trong đó ngôn ngữ đại số được xử lý.
Cuốn sách này là tài liệu khởi đầu xuất sắc cho sinh viên vào thế giới đại số, mặc dù đối với một số người, nó đại diện cho một nguồn nghiên cứu đầy cảm hứng và đối với những người khác thì e ngại, nhưng sự thật là nó là thư mục bắt buộc và lý tưởng để hiểu rõ hơn về các chủ đề được đề cập..
Đại số Boolean là gì
Nhà toán học người Anh George Boole (1815-1864), đã tạo ra một nhóm các luật và quy tắc để thực hiện các phép toán đại số, đến mức một phần của nó đã được đặt tên cho nó. Vì lý do này, nhà toán học và logic học người Anh được coi là một trong những người tiền thân của khoa học máy tính.
Trong các vấn đề logic và triết học, các định luật mà Boole phát triển cho phép đơn giản hóa chúng thành hai trạng thái, đó là trạng thái đúng hoặc trạng thái sai, và những kết luận này được đưa ra thông qua một cách toán học. Một số hệ thống điều khiển đã thực hiện, chẳng hạn như công tắc tơ và rơ le, sử dụng các thành phần đóng và mở, bộ phận mở là bộ dẫn điện và bộ phận đóng là bộ phận không dẫn. Điều này được gọi là tất cả hoặc không có gì trong đại số Boolean.
Các trạng thái như vậy có đại diện bằng số 1 và 0, trong đó 1 đại diện cho giá trị đúng và 0 đại diện cho sai, điều này làm cho việc nghiên cứu của họ dễ dàng hơn. Theo tất cả những điều này, bất kỳ thành phần nào của tất cả các loại hoặc không có gì có thể được biểu diễn bằng một biến logic, có nghĩa là nó có thể có giá trị 1 hoặc 0, những biểu diễn này được gọi là mã nhị phân.
Đại số Boolean làm cho nó có thể đơn giản hóa các mạch logic hoặc chuyển mạch logic trong điện tử kỹ thuật số; cũng thông qua đó, các phép tính và hoạt động logic của mạch có thể được thực hiện một cách rõ ràng hơn.
Trong đại số Boolean có ba thủ tục cơ bản, đó là: tích logic, cổng AND hoặc hàm giao nhau; tổng logic, cổng OR hoặc hàm liên hợp; và phủ định logic, cổng NOT hoặc hàm bổ sung. Ngoài ra còn có một số chức năng phụ trợ: phủ định sản phẩm logic, cổng NAND; phủ định của tổng logic, cổng NOR; tổng logic độc quyền, cổng XOR; và phủ định của tổng logic độc quyền, cổng XNOR.
Trong đại số Boolean, có một số luật, trong số đó là:
- Luật hủy bỏ. Còn được gọi là luật hủy bỏ, nó nói rằng trong một số bài tập sau một quá trình, thuật ngữ độc lập sẽ bị hủy bỏ, do đó (AB) + A = A và (A + B). A = A.
- Luật nhận dạng. Hoặc về sự đồng nhất của các phần tử 0 và 1, nó thiết lập rằng một biến mà phần tử rỗng hoặc 0 được thêm vào, sẽ bằng với cùng một biến A + 0 = A theo cách giống như khi biến đó được nhân với 1, kết quả là như nhau A.1 = a.
- Luật duy tâm. Hoa rằng một hành động cụ thể được thực hiện nhiều lần và kết quả tương tự, do đó, nếu bạn có một sự kết hợp A + A = A và nếu nó là một phân ly AA = A.
- Luật giao hoán. Điều này có nghĩa rằng không có vấn đề thứ tự mà các biến được, do đó A + B = B + A.
- Luật phủ định kép. O co hồi, tiểu bang rằng nếu một từ chối được đưa ra từ chối một kết quả tích cực, do đó (A ') = A.
- Định lý Morgan. Những điều này nói rằng tổng của một số biến bị phủ định nói chung sẽ bằng tích của từng biến bị phủ định một cách độc lập, do đó (A + B) '= A'.B' và (AB) '= A' + B '.
- Luật phân phối. Nó thiết lập rằng khi một số biến được tham gia, sẽ được nhân với một biến bên ngoài khác, nó sẽ giống như nhân từng biến được nhóm với biến bên ngoài, như sau: A (B + C) = AB + AC.
- Định luật hấp thụ. Nó nói rằng nếu một biến A ngụ ý một biến B, thì biến A sẽ ngụ ý A và B, và A sẽ bị B "hấp thụ".
- Luật liên kết. Trong phân đoạn hoặc khi nối một số biến, kết quả sẽ giống nhau bất kể chúng được nhóm như thế nào; sao cho trong phép cộng A + (B + C) = (A + B) + C (phần tử đầu tiên cộng với liên kết của hai cuối cùng, bằng kết hợp của hai đầu tiên cộng với cuối cùng).
